Các bài toán tối ưu hóa thường được biểu diễn bằng các ký hiệu đặc biệt. Dưới đây là một vài ví dụ:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Xét ký hiệu sau đây:

min x ∈ R x 2 + 1 {\displaystyle \min _{x\in \mathbb {R} }\;x^{2}+1}

Đây là ký hiệu cho giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} , với x {\displaystyle x} nằm trong tập số thực R {\textstyle \mathbb {R} } . Giá trị nhỏ nhất trong trường hợp này là 1 {\displaystyle 1} , xảy ra tại x = 0 {\displaystyle x=0} .

Tương tự thì ký hiệu

max x ∈ R 2 x {\displaystyle \max _{x\in \mathbb {R} }\;2x}

chỉ ra giá trị lớn nhất cho hàm mục tiêu 2 x {\displaystyle 2x} , với x {\displaystyle x} là một số thực. Trong trường hợp này, không có giá trị đó do biểu thức không bị chặn trên, vậy kết quả là "giá trị vô cùng" hoặc "không xác định".

Đối số tối ưu

Xét ký hiệu sau đây:

a r g m i n x ∈ ( − ∞ , − 1 ] x 2 + 1 , {\displaystyle {\underset {x\in (-\infty ,-1]}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,}

hay tương đương là

a r g m i n x x 2 + 1 , subject to: x ∈ ( − ∞ , − 1 ] . {\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,\;{\text{subject to:}}\;x\in (-\infty ,-1].}

Ký hiệu này biểu diễn một hoặc nhiều giá trị của đối số x {\displaystyle x} trong đoạn ( − ∞ , − 1 ] {\textstyle (-\infty ,-1]} sao cho hàm mục tiêu x 2 + 1 {\textstyle x^{2}+1} đạt giá trị nhỏ nhất (chứ không yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất đó). Kết quả là x = − 1 {\displaystyle x=-1} , do không như ví dụ đầu tiên, x = 0 {\displaystyle x=0} không nằm trong tập khả thi.

Tương tự,

a r g m a x x ∈ [ − 5 , 5 ] , y ∈ R x cos ⁡ ( y ) , {\displaystyle {\underset {x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos(y),}

hay ký hiệu tương đương

a r g m a x x , y x cos ⁡ ( y ) , subject to: x ∈ [ − 5 , 5 ] , y ∈ R , {\displaystyle {\underset {x,\;y}{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos(y),\;{\text{subject to:}}\;x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} ,}

Biểu diễn một hay nhiều cặp ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} làm cho hàm mục tiêu x cos ⁡ ( y ) {\displaystyle x\cos(y)} đạt giá trị lớn nhất, với ràng buộc là x nằm trong đoạn [ − 5 , 5 ] {\textstyle [-5,5]} . (Một lần nữa, giá trị tối ưu của hàm mục tiêu không quan trọng, hàm arg ⁡ max {\displaystyle \arg \max } chỉ cho ra cặp ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} thỏa mãn yêu cầu trên.) Trong trường hợp này, kết quả là các cặp số có dạng ( 5 , 2 k π ) {\textstyle (5,\,2k\pi )} và ( − 5 , ( 2 k + 1 ) π ) {\textstyle (-5,\,(2k+1)\pi )} , với k {\displaystyle k} là số nguyên tùy ý.